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Résumé : L’étude mathématique de la stabilité des écoulements
parallèles en dimension deux et trois connaît un fort regain
d’activité depuis une dizaine d’années. Si les premiers résultats
généraux concernant la stabilité hydrodynamique remontent au 19ème
siècle, les développements actuels font appel à des techniques assez
sophistiquées, relevant notamment de la théorie spectrale et de
l’analyse des opérateurs non auto-adjoints.

Ce cours se veut une introduction à la littérature mathématique
récente consacrée à la stabilité hydrodynamique. Pour contenir le
sujet dans des limites raisonnables, on se restreindra souvent au cas
de la dimension deux, et on considérera principalement des écoulements
dans des domaines sans bord. Les objectifs sont :

1) Dans le cas visqueux, de montrer comment l’interaction entre
la diffusion et le transport conduit au phénomène de dissipation
accélérée, à grand nombre de Reynolds;

2) Dans le cas idéal, d’expliquer comment le mélange dû au transport
peut provoquer un amortissement de nature non visqueuse;

3) Dans tous les cas, d’identifier un seuil de stabilité,
c’est-à-dire de prédire la taille maximale des perturbations
pour lesquelles l’évolution temporelle peut être contrôlée
par l’opérateur linéarisé.

Au fil des séances, on présentera avec quelques détails les exemples
classiques que sont les écoulements de Couette, de Kolmogorov, et de
Poiseuille. Si le temps le permet, on abordera également la question
reliée des tourbillons plans.

En ce qui concerne les prérequis, ce cours ne suppose pas une connaissance
approfondie de la mécanique des fluides, si ce n’est une certaine
familiarité avec les équations fondamentales. En revanche, on fera un
usage constant des notions élémentaires de la théorie spectrale et de
l’analyse des opérateurs.

Résumé : L’équation de Schrödinger avec non-linéarité logarithmique a plusieurs caractéristiques uniques en terme d’invariants et en termes de dynamique. Nous rappelerons les propriétés les plus importantes associées au cas d’une équation de Schrödinger « habituelle », pour ensuite souligner les spécificités de la non-linéarité logarithmique. Cette équation a un lien important avec la mécanique des fluides compressibles, et nous présenterons des résultats dans ce domaine, concernant l’existence de solutions et leur comportement en temps grand.

Résumé : De nombreux systèmes d’EDP d’évolution issus de modélisations physiques sont des couplages de lois de conservation et d’équations d’ordre 1
comportant, pour certaines d’entre elles, des termes dissipatifs ou diffusifs. C’est le cas par exemple des systèmes liés à la dynamique des gaz, où la masse est conservée au cours de l’évolution, mais la vitesse comporte un terme de diffusion (viscosité) ou d’amortissement (relaxation).
Pour de tels systèmes, appelés partiellement dissipatifs, S. Kawashima a mis en évidence dans sa thèse datant de 1987, un critère simple à vérifier assurant l’existence de solutions globales fortes au voisinage d’un état constant linéairement stable.
Ces résultats ont été revisités par de nombreux chercheurs et, notamment, par K. Beauchard et E. Zuazua, qui ont proposé en 2010 une méthode systématique de construction d’une fonctionnelle de Lyapunov permettant d’affiner les résultats de Kawashima et même d’établir des résultats d’existence globale dans des situations qui ne sont pas couvertes par son critère.

Dans cet exposé, on présentera la méthode de Beauchard et Zuazua dans le cas d’opérateurs partiellement dissipatifs d’ordre quelconque, puis on expliquera comment en tirer partie pour démontrer des résultats d’existence globale à données petites au sens de normes essentiellement optimales (dépassant éventuellement le cadre $L^2$) pour une classe de systèmes hyperboliques quasilinéaires symétrisables contenant le système d’Euler compressible avec amortissement.

 

Avec le soutien financier du CNRS, de la région Grand Est et de la ville d'Obernai